Nous savons depuis toujours que le monde est une grande énigme, et qui dit énigme dit aussi que chacun a le droit d'essayer de la résoudre à sa manière.
Jostein Gaarder
Les mathématiques regorgent de défis intellectuels qui ont résisté même aux plus grands esprits. Parmi eux, sept problèmes, connus sous le nom de problèmes du millénaire, restent à ce jour sans solution. Leur résolution est non seulement une quête académique, mais elle est également récompensée par des prix prestigieux.
Superprof vous livre la liste des problèmes jamais résolus en mathématiques, et espère que vous rentrerez un jour dans la fabuleuse histoire des mathématiques en parvenant à les résoudre !
| Numéro | Problème | Description | Domaine | Origine |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Hypothèse de Riemann | Concerne la distribution des nombres premiers via les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. | Théorie des nombres, cryptographie | Bernhard Riemann (1859) |
| 2 | Conjecture de Hodge | Lien entre la topologie et la géométrie algébrique des variétés projectives complexes. | Géométrie algébrique, topologie | W. V. D. Hodge (années 1930–1940) |
| 3 | Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer | Relation entre les courbes elliptiques et le comportement de leur fonction L en s = 1. | Théorie des nombres, équations diophantiennes | Birch & Swinnerton-Dyer (années 1960) |
| 4 | Equations de Navier-Stokes | Décrit le mouvement des fluides et l’existence de solutions régulières en dimension 3. | Analyse mathématique, mécanique des fluides | Claude-Louis Navier & George Stokes (XIXe siècle) |
| 5 | Equations de Yang-Mills | Fondements mathématiques des théories de jauge en physique quantique. | Physique mathématique | Chen-Ning Yang & Robert Mills (1954) |
| 6 | P = NP | Questionne l’équivalence entre problèmes faciles à résoudre et faciles à vérifier. | Informatique théorique, algorithmique | Stephen Cook (1971) |
| 7 | Conjecture de Poincaré | Caractérisation topologique de la sphère en dimension 3. | Topologie | Henri Poincaré (1904) |
N°1 : L’hypothèse de Riemann, un problème mathématique non résolu
Cette hypothèse concerne la distribution des nombres premiers et la fonction zêta de Riemann. Elle postule que toutes les solutions non triviales de la fonction zêta ont une partie réelle égale à 1/2.
Sa validation ou réfutation aurait des implications profondes en théorie des nombres et en cryptographie.
Formulée par Bernhard Riemann en 1859
Informatique, cryptographie
Non prouvée mais Maynard et Guth ont reformulé un aspect crucial de l’hypothèse
David Hilbert en avait fait en 1900 le huitième problème de sa liste de problèmes présentés au Congrès des mathématiciens de Paris. Cent ans plus tard, le Clay Mathematics Institute l’inclut à la liste des "problèmes du millénaire".
de dollars est offert à qui parviendra à démontrer cette hypothèse (et d'autres). (1)
Serait-ce une raison de plus pour prendre des cours de mathset vous perfectionner, pour peut-être un jour résoudre ce problème appelé aussi "Le Graal des Mathématiciens" ?
En 1859, Bernhard Riemann publie un article intitulé "Sur le nombre des nombres premiers inférieurs à une quantité donnée", sans savoir qu’il allait poser ici la question la plus compliquée de l’histoire des mathématiques.
Cette conjecture porte sur une question à laquelle tente de répondre les mathématiciens depuis plus de 2000 ans : l’origine des nombres premiers.
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Poursuivant les travaux de son professeur Gauss, l’allemand Riemann met à jour la fonction Zêta.
C'est à dire qu'en construisant un graphique à trois dimensions, il nomme les points qui redescendent "les points zéros" qui, selon lui, ont un lien avec les nombres premiers.
Les zéros non triviaux de cette fonction ont tous pour partie réelle ½.
Démontrer cette affirmation permettrait donc de découvrir, ou du moins d’aider à le faire, la répartition des fameux nombres premiers.
N°2 : La conjecture de Hodge, l’énigme mathématique par excellence
Cette conjecture traite de la relation entre la topologie des variétés algébriques et leur structure algébrique. Elle suggère que certains cycles de Hodge sont des combinaisons linéaires rationnelles de cycles algébriques.
Elle est centrale en géométrie algébrique et en topologie, influençant la compréhension des formes et des espaces.
Résultat du mathématicien W. V. D. Hodge qui, entre 1930 et 1940, a enrichi la description de la cohomologie de De Rham.
Géométrie algébrique, topologie
Non prouvée mais Claire Voisin travaille sur cette hypothèse.
Appartenant aussi aux sept problèmes du Millénaire définis par l’institut Clay en 2000, la conjecture de Hodge réunit plusieurs compétences mathématiques qui n’avaient à priori pas de lien : la topologie algébrique, la géométrie algébrique…
Selon une définition dérivée de celle de l’institut Clay, cette conjecture stipule que sur les variétés projectives complexes (des types d'espaces topologiques particuliers), les objets nommés classes de Hodge sont des combinaisons linéaires à coefficients rationnels de classes associées à des objets géométriques nommés sous-ensembles algébriques. Rien que ça !
Claire Voisin, mathématicienne française et médaillée d'or au CNRS, travaille sur cette hypothèse. Selon elle, sa démonstration serait un vrai trésor mathématique.
Dans une interview donnée à La Recherche, elle résume la conjecture de Hodge en expliquant qu’elle part d’un type d’objets, appelés variétés projectives complexes, qui sont des ensembles de points dans un ensemble projectif définis par des contraintes "polynomiales".
Plutôt complexe, non ?
Il ne s’agit peut-être pas du problème le plus difficile à résoudre, mais certainement du plus compliqué à comprendre, tant les connaissances en mathématiques que sa compréhension nécessaires sont poussées. Il est question, entre autres, de géométrie qu’on ne peut pas visualiser.
Une énigme à approfondir en cours particuliers maths :
N°3 : La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, un mystère non résolu
Elle concerne les courbes elliptiques en théorie des nombres, postulant une relation entre le rang du groupe des points rationnels d’une courbe elliptique et le comportement de sa fonction L associée au point s=1.
Sa résolution pourrait éclairer la compréhension des solutions rationnelles des équations diophantiennes.
Le Théorème de Mordell démontré en 1922 par Louis Mordell
Equations
Non prouvée, en 2010, Manjul Bhargava et Arul Shankar ont annoncé une preuve que le rang moyen du groupe de Mordell-Weil d'une courbe elliptique sur Q est majoré par 7/6.
Pour la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, il est question d’équations algébriques, que vous avez sûrement étudiées durant vos cours de maths.
Néanmoins, il vous faudra sûrement un certain niveau en mathématiques avant de pouvoir tenter de résoudre cette conjoncture.
Elle tend à définir le nombre de points remarquables sur des courbes dites elliptiques.
Il est déjà compliqué de déterminer les solutions d’une équation polynomialeP(x,y)=0 où x et y seraient des nombres rationnels.
Cette conjecture rapporterait aussi un million de dollars à celui ou celle qui viendrait la résoudre, en tant que problème du millénaire. Elle complexifie la question en prédisant que le rang dépend uniquement de la donnée du nombre de solutions de l’équation pour tout nombre premier P.
N°4 : Les équations de Navier-Stokes, un problème mathématique jamais résolu
Ces équations décrivent le mouvement des fluides en trois dimensions. Le problème consiste à déterminer si des solutions lisses et globales existent pour toutes les conditions initiales.
Une solution apporterait des avancées majeures en mécanique des fluides et en modélisation climatique.
Claude-Louis Navier & George Stokes (XIXe siècle)
Analyse mathématique, mécanique des fluides
Des résultats partiels ont été trouvés en 1911, 1934 et 1959 mais elles ne sont pas résolues à ce jour.
Ici, il est question de physique et de mécaniques des fluides.
Moins célèbre qu’E=MC2, les équations de Navier-Stoke qui fascinent autant les physiciens que les mathématiciens, visent à décrire le mouvement des fluides ou plus précisément son champ de vitesse.
Il s’agit d’équations différentielles non-linéaires.
Elle sont utilisées très souvent alors que leur solution n’est pour le moment pas trouvée ! En effet, elles servent en outre à mieux appréhender les mouvements des courants dans les océans.
Que vous ayez des compétences en mathématiques ou en physique-chimie, démontrer les équations de Navier-Stoke vous permettrait de remporter le fameux prix de l’institut Clay et de devenir le deuxième à résoudre l’un des sept problèmes du Millénaire. Pour consolider vos bases, vous pouvez aussi suivre des cours de math en ligne.
N°5 : Les équations de Yang-Mills, un problème du millénaire
Issues de la physique théorique, ces équations modélisent les interactions fondamentales entre particules. Le défi est de prouver l’existence d’un groupe de jauge non nul dans ces théories.
Une preuve consoliderait les fondements de la physique des particules et de la théorie quantique des champs.
Chen-Ning Yang & Robert Mills (1954)
Physique mathématique
Non prouvée mais compréhension plus approfondie des théories de jauge quantiques.
Les équations de Yang Mills traitent de la théorie des champs basée sur la notion d’invariance de jauge qui sert à décrire les champs de force fondamentaux.
Afin d’expliquer l’infiniment petit, Yang et Mills ont tenté de décrire les particules élémentaires en construisant un modèle basé sur des théories géométriques.
Leur théorie, qui dit que certaines particules quantiques ont une masse positive, a été vérifiée par de nombreuses simulations sur ordinateurs.
Découverte de façon expérimentale par les deux physiciens, elle n’est toujours pas prouvée à ce jour d’un point de vue théorique.
N°6 : Le problème P=NP, un calcul impossible à résoudre
Ce problème questionne si chaque problème dont la solution peut être vérifiée rapidement (en temps polynomial) peut également être résolu rapidement.
Sa résolution aurait des conséquences majeures en informatique, notamment en cryptographie et en optimisation.
Stephen Cook (1971)
Informatique théorique, algorithmique
Non prouvée, en 2010, Manjul Bhargava et Arul Shankar ont annoncé une preuve que le rang moyen du groupe de Mordell-Weil d'une courbe elliptique sur Q est majoré par 7/6.
L’enjeu de ce problème du millénaire est sûrement le plus important de tous.
En effet, de sa résolution découlerait certainement celle des autres problèmes, tandis que le contraire impliquerait qu’ils resteraient sûrement insolvables…
Dans P=NP, on appelle P le problème qui consiste à trouver une liste d’éléments dans un ensemble donné.
Lié de près au fonctionnement des ordinateurs et des algorithmes, on pourrait traduire littéralement ce problème par la question suivante : "Pouvons-nous trouver grâce à un calcul intelligent ce que nous pouvons trouver en ayant de la chance ?".
Parviendrez-vous à répondre à cette question, pour le moment sans réponse ?
N°7 - La conjecture de Poincaré, un problème résolu en 2003
Elle affirme que toute variété simplement connexe, compacte et sans bord en dimension trois est homéomorphe à une sphère tridimensionnelle.
Formulée par Henri Poincaré en 1904
Topologie
Grigori Perelman a démontré cette conjecture en 2003, apportant une avancée significative en topologie.
S'il y a un nom que tout étudiant en mathématiques doit connaître, c'est celui d'Henri Poincaré. À l'aube du XXe siècle, ce génie français a formulé une question fondamentale sur la topologie (l'étude des déformations des formes) : comment reconnaître une sphère d'un autre objet ?
La topologie est souvent appelée la "géométrie du caoutchouc". Dans ce domaine, une tasse de café et un donut sont considérés comme identiques car ils possèdent tous deux un seul trou.
La Conjecture de Poincaré2 postule que la sphère à trois dimensions est la seule variété fermée de dimension 3 ne possédant aucun trou. En termes simples : si vous entourez un objet d'un élastique et que vous pouvez le resserrer en un point sans déchirer l'objet ou l'élastique, alors cet objet est une sphère.
Formulée en 1904, cette conjecture était le point de départ pour comprendre la forme de notre Univers. Si la conjecture est vraie, elle permet de caractériser mathématiquement l'espace physique dans lequel nous évoluons.
Après un siècle de recherches infructueuses par les plus grands experts, c'est le mathématicien russe Grigori Perelman qui a publié la solution entre 2002 et 2003. Fait unique dans l'histoire des sciences : pour résoudre ce problème de topologie, il a utilisé des outils issus de l'analyse et de la physique (le flux de Ricci).
La résolution de la Conjecture de Poincaré est aussi célèbre pour son dénouement humain. Fidèle à ses principes et vivant en ermite, Grigori Perelman a refusé la Médaille Fields (l'équivalent du Nobel en mathématiques) en 2006, puis le prix d'un million de dollars de l'Institut Clay en 2010. Il a déclaré que sa contribution n'était pas plus grande que celle de l'Américain Richard Hamilton, qui avait ouvert la voie. Un cas unique de désintéressement total dans le monde académique !
Autres problèmes mathématiques non résolus
Si les problèmes du prix du millénaire captent souvent toute l'attention, l'univers des mathématiques regorge d'autres énigmes fascinantes. Certaines datent de l'Antiquité, d'autres semblent être des jeux d'enfants, mais toutes partagent un point commun : elles résistent encore aux plus grands cerveaux de la planète.
Le problème des bœufs d’Hélios
Bien loin des équations modernes, ce problème nous vient de la Grèce antique. Il ne s'agit pas de "résoudre" au sens moderne (car on sait comment faire), mais de l'incapacité humaine et matérielle à traiter l'immensité de sa réponse.
Le problème est un système d'équations diophantiennes (équations dont les solutions sont des nombres entiers). Il demande de calculer le nombre de bœufs du troupeau du dieu Soleil (Hélios), répartis en quatre couleurs (blanc, noir, tacheté, jaune) et selon des conditions de parité et de proportions géométriques.
Il illustre la complexité de l'analyse indéterminée. Pour résoudre la seconde partie du problème, il faut résoudre une équation de type "Pell-Fermat".
Attribué à Archimède de Syracuse (IIIe siècle av. J.-C.), envoyé sous forme de poème à Ératosthène de Cyrène.
Théorie des nombres et équations diophantiennes
La solution complète n'a été trouvée qu'en 1880
Le nombre total de bêtes est un chiffre colossal d'environ 206 544 chiffres. Si vous vouliez l'écrire, il vous faudrait des kilomètres de papier (et un sacré bout de temps) ! Le défi aujourd'hui réside dans le calcul de variantes encore plus complexes via l'informatique de pointe.
Ce problème est resté mathématiquement insoluble pendant plus de 2000 ans, tout simplement parce que les outils de calcul logarithmique n'existaient pas encore.
Le problème des huit dames
Ce qui ressemble à un simple casse-tête pour amateurs d'échecs est en réalité un défi algorithmique majeur qui passionne les chercheurs en informatique.
Le but est de placer huit dames sur un échiquier standard de 8x8 cases de telle sorte qu'aucune d'entre elles ne puisse en capturer une autre (aucune dame sur la même ligne, colonne ou diagonale).
Ce problème est utilisé pour tester les algorithmes de recherche et d'optimisation (comme le backtracking). Il sert de base à l'étude de l'intelligence artificielle dans la gestion des contraintes.
Proposé initialement par Max Bezzel en 1848, puis étudié par le célèbre mathématicien Carl Friedrich Gauss.
Combinatoire et algorithmique
Si la solution pour 8 dames est connue (92 solutions possibles), le problème devient "non résolu" dès lors qu'on généralise à un échiquier de taille n×n .
En 2021, des chercheurs ont réussi à prouver mathématiquement le nombre de solutions pour des valeurs de n extrêmement grandes, mais la formule exacte pour n'importe quel n reste l'un des Graals de la combinatoire.
Les nombres de Ramsey
Le théoricien des graphes Frank Ramsey a démontré qu'un désordre complet est impossible. Pourtant, calculer précisément ce "seuil d'ordre" est une tâche herculéenne.
Le théorème de Ramsey stipule que dans un groupe assez grand, une certaine structure minimale apparaîtra toujours. Par exemple, le nombre de Ramsey R(3,3)=6 signifie que dans n'importe quel groupe de 6 personnes, il y en a forcément 3 qui se connaissent ou 3 qui ne se connaissent pas.
C’est le cœur de la "Théorie de Ramsey". Elle prouve que même dans les systèmes les plus chaotiques, il existe des structures organisées. Cela a des implications en informatique, en communication réseau et en physique.
Frank P. Ramsey, au début du XXe siècle (1930)
Logique, combinatoire et théorie des graphes
On connaît les valeurs pour de petits nombres, mais dès qu'on augmente les variables (par exemple R(5,5) ), les résultats exacts nous échappent.
Le mathématicien Paul Erdős disait avec humour : "Si une entité supérieure demandait la valeur de R(5,5) sous peine d'anéantir la Terre, nous devrions mobiliser tous nos ordinateurs. Mais si elle demandait R(6,6) , nous ferions mieux de l'attaquer en premier."
✅ La Conjecture de Poincaré : RÉSOLUE par Grigori Perelman (2003).
❌ L’Hypothèse de Riemann : Le Graal de la théorie des nombres.
❌ La Conjecture de Hodge : Le pont entre géométrie et topologie.
❌ La Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer : L'énigme des courbes elliptiques.
❌ Les Équations de Navier-Stokes : La clé de la dynamique des fluides.
❌ Les Équations de Yang-Mills : Le mystère de la physique des particules.
❌ Le Problème P=NP : La question ultime de l'informatique théorique.
Sources
- Clay Mathematics Institute. Clay Mathematics Institute, 2024. Disponible à https://www.claymath.org/. Consulté le 15 janvier 2026.
- Nasar, Sylvia, et David Gruber. "Manifold Destiny: A Legendary Problem and the Battle over Who Solved It." The New Yorker, 21 août 2006. Disponible à https://www.newyorker.com/magazine/2006/08/28/manifold-destiny. Consulté le 15 janvier 2026
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